Ultrafiltrelere Dair

Question

$X$ ve $Y$ boştan farklı kümeler, $f:X\to Y$ fonksiyon ve $\mathcal{F}\subseteq 2^X$ olsun. $$\mathcal{F}, \ X\text{'de ultrafiltre}\Rightarrow \mathcal{F}':=\{F'|(\exists F\in\mathcal{F})(f[F]\subseteq F')\}, \ Y\text{'de ultrafiltre}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$A\in 2^Y$ olsun. Bu linkte yer alan teorem gereği $A\in\mathcal{F}'$ veya $A^c\in\mathcal{F}'$ olduğunu gösterirsek kanıt biter.

$\left.\begin{array}{rr}
A\in 2^Y\Rightarrow f^{-1}[A]\in 2^X \\ \\ \mathcal{F}, \ X\text{'de ultrafiltre}\end{array}\right\}\Rightarrow f^{-1}[A]\in \mathcal{F} \vee (f^{-1}[A])^c\in\mathcal{F}$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (f^{-1}[A]\in \mathcal{F})(f[f^{-1}[A]]\subseteq A) \vee (f^{-1}[A^c]\in \mathcal{F})(f[f^{-1}[A^c]]\subseteq A^c) \\ \\ \mathcal{F}':=\{F'|(\exists F\in\mathcal{F})(f[F]\subseteq F')\}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow A\in\mathcal{F}' \vee A^c\in\mathcal{F}'.$