Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
666 kez görüntülendi

Herhangi bir ABC üçgeninde çevrel çemberin yarıçapı R, iç teğet çemberin yarıçapı r olmak üzere cosA+cosB+cosC=1+4sinA2sinB2sinC2 ve cosA+cosB+cosC=1+rR eşitliklerini gösteriniz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 666 kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

İkinci eşitlik için önce bazı eşitlikleri ispatlayalım.

Kosinüs teoremi: a2=b2+c22bcCosA

CosA=(b2+c2a2)/2bc=12Sin2(A/2) den,

Sin(A/2)=((ub)(uc))/bc)(1/2) benzer olarak Sin(B/2),Sin(C/2) de hesaplanır. Burada 2u=a+b+c olduğu unutulmamalıdır. Ayrıca A(ABC)=s=u.r  ve  s=a.b.c/4R bu eşitliklerden u=s/r   ve a.b.c=s/4R  eşitlikleri elde edilir. Şimdi 

CosA+CosB+CosC=1+4SinA/2.SinB/2.SinC/2 eşitliginde yukarıda bulunan değerler yerine yazılarak,

CosA+CosB+CosC=1+4(ua)(ub)(uc)/a.b.c  bulunur. Son olarak (ua)(ub)(uc)=s2/u  ve u=s/r   ve a.b.c=4.s.R  yazılırsa istenilen eşitlik olan

CosA+CosB+CosC=1+r/R  elde edilir.


(19.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Tebrikler Mehmet bey. İşlemleri biraz bol bir soruydu, ilgilendiğiniz için teşekkürler.
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir üçgende içaçı ölçüleri toplamı 180 derece olduğundan, A+B+C=180 den A+B=180-C ve (A+B)/2=90-C/2  olduklarını dikkate alalım. Eşitliğin sol tarafından başlayalım;

CosA+CosB+CosC=2Cos(A+B)/2.Cos(AB)/2+CosC

=2Cos(90C/2).Cos(AB)/2+1(SinC/2)2

=2SinC/2.Cos(AB)/2+12(SinC/2)2

=1+2SinC/2(Cos(AB)/2SinC/2)

=1+2SinC/2(Cos(AB)/2Cos(A+B)/2)

=1+4SinC/2.SinB/2.SinA/2 elde edilir.

İkinci eşitlik için  önce   

r=4RSinA/2.SinB/2.SinC/2 olduğu gösterilmeli. Sonrası kolay.



(19.2k puan) tarafından 
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,858,806 kullanıcı