İkinci eşitlik için önce bazı eşitlikleri ispatlayalım.
Kosinüs teoremi: a2=b2+c2−2bcCosA
CosA=(b2+c2−a2)/2bc=1−2Sin2(A/2) den,
Sin(A/2)=((u−b)(u−c))/bc)(1/2) benzer olarak Sin(B/2),Sin(C/2) de hesaplanır. Burada 2u=a+b+c olduğu unutulmamalıdır. Ayrıca A(ABC)=s=u.r ve s=a.b.c/4R bu eşitliklerden u=s/r ve a.b.c=s/4R eşitlikleri elde edilir. Şimdi
CosA+CosB+CosC=1+4SinA/2.SinB/2.SinC/2 eşitliginde yukarıda bulunan değerler yerine yazılarak,
CosA+CosB+CosC=1+4(u−a)(u−b)(u−c)/a.b.c bulunur. Son olarak (u−a)(u−b)(u−c)=s2/u ve u=s/r ve a.b.c=4.s.R yazılırsa istenilen eşitlik olan
CosA+CosB+CosC=1+r/R elde edilir.