İkinci eşitlik için önce bazı eşitlikleri ispatlayalım.
Kosinüs teoremi: $a^2=b^2+c^2-2bcCosA$
$CosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=1-2Sin^2(A/2)$ den,
$Sin(A/2)=((u-b)(u-c))/bc)^(1/2)$ benzer olarak $Sin(B/2),Sin(C/2)$ de hesaplanır. Burada $2u=a+b+c$ olduğu unutulmamalıdır. Ayrıca $A(ABC)=s=u.r$ ve $s= a.b.c/4R$ bu eşitliklerden $ u=s/r$ ve $ a.b.c=s/4R$ eşitlikleri elde edilir. Şimdi
$CosA+CosB+CosC=1+4SinA/2.SinB/2.SinC/2$ eşitliginde yukarıda bulunan değerler yerine yazılarak,
$CosA+CosB+CosC=1+4(u-a)(u-b)(u-c)/a.b.c$ bulunur. Son olarak $(u-a)(u-b)(u-c)=s^2/u$ ve $u=s/r$ ve $ a.b.c= 4.s.R$ yazılırsa istenilen eşitlik olan
$CosA+CosB+CosC=1+r/R$ elde edilir.