Question

$a_{1}=\sqrt {6} , \ a_{n}=\sqrt {6+a_{n-1}}$ biciminde tanimlanan $a_{n}$ dizisinin limiti nedir?

Answer 1

$a_n=\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}$ dizisi artan ve üstten sınırlı

$\sqrt{a}<\sqrt{a+b}<\sqrt{b^{2}}$ olan bir $b$ olsun

$\sqrt{6+\sqrt{6}}<\sqrt{6+4}<\sqrt{4^{2}}=4$ her $n$ icin doğru olsun tümevarımla üstten sınırlı olduğu gösterilebilir üstten sınırlı yakınsak dizidir

$\lim a_n=X$ dersek,

$X=\sqrt{6+X}$ buradan

$X^{2}-X-6=0$ ,$X=3,X=-2$ dizi 3 e yakınsar sanırm

Comments

Yakınsak bir dizinin limit $a$ ise bu dizinin bütün alt dizileri de yakınsak olup $a$'ya yakınsarlar. 

---

Kucuk bir duzeltme: $a_n=X$ degil de $\lim a_n=X$ olmali.