$$(x,y)\in A\times\left(\bigcap_{\alpha\in\Lambda}B_{\alpha}\right)$$
$$\Leftrightarrow$$
$$x\in A\wedge y\in \left(\bigcap_{\alpha\in\Lambda}B_{\alpha}\right)$$
$$\Leftrightarrow$$
$$x\in A \wedge (\forall\alpha\in\Lambda)(y\in B_{\alpha})$$
$$\overset{?}{\Leftrightarrow}$$
$$(\forall\alpha\in\Lambda)(x\in A \wedge y\in B_{\alpha})$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\alpha\in\Lambda)((x,y)\in A\times B_{\alpha})$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(x,y)\in\bigcap_{\alpha\in\Lambda}(A\times B_{\alpha}).$$