$R$ birimli ve değişmeli bir halka ve $M\ne R$ olmak üzere $R$ halkasının bir ideali olsun. $M$ maksimal ise her $r \in R\setminus M$ için $$1_{R}-r\cdot x \in M$$olacak şekilde bir $x\in R$ elemanı vardır.
hocam su sekilde ispatlayabilir miyiz ? R birimli ise R/M de birimlidir. M maksimal olduğundan M$\subset$R yazılır. $\forall$r $\in$ R\ M için r + M'nin tersi x+M olsun. (r+M).(x+M)=($1_{r}$+ M).
xr+M = $1_{r}$+M ise $1_{r}$- xr ∈ M olur burada r $\not \in$ M olduğundan son kısım M ideal olduğundan dolayı x$\not\in$ M dolayısıyla x$\in$ R şeklinde mi yazılmalı ?
$1_{R}-r\cdot x\in M$ olacak sekilde yazilmasi gerekiyordu galiba. Fikirsel olarak cevabindan dogru bir cevaba gidecek yol var. Bunlari teker teker $p\implies q$ seklinde yazabilir misin?Mesela $r+M$'nin tersi derken neden tersi olsun? Bunun oldugunu bir onceki cumlede soyleyebilirsin mesela.Sonra da `$R/M$ kumesinin her elemaninin tersi oldugundan $r+M$ elemanin $R/M$ kumesinde bir $x+M$ tersi vardir.' diyebilirsin.
hocam R birimli halka olduğundan R/M de birimli halka olmaz mı? o yüzden tersi var olmaz mı?
Halkalarda carpmaya gore ters her zaman yoktur. Cisimse sifir haric her elemanin carpmaya gore tersi vardir.
Önerme nedir burada? $1_r - rx$ in ne olması isteniyor?
$1_{r}$ - rx $\in$ M
hocam o zaman $1_{r}$ - rx $\in$ M nasıl elde edeceğiz?
Önce şunu düşünmek gerek. $R$ değişmeli birimli bir halka ve $M$ de $R$ nin bir maksimal ideali imiş. $R$ yi maksimal idealine bölersen nasıl bir yapı elde edersin?
R/M in cisim olduğunu göstermek bu teoremin yerine gecer mi?
Önermenin ispatında bölüm halkasının cisim yapısında olmasını kullanacaksın. Cisim olduğunu ispatlamak gerekmeyebilir bu ispat için daha önce ispatlamışsanız. Bu bölüm halkasında sıfırdan farklı (yani $0+M$ den farklı) her $r+M \in R \diagup M$ nin tersi ve birim eleman $1_R +M$ var. Kabul edelim ki $r+M$ nin tersi $x+M \in R \diagup M $ olsun. Devamını getirebilir misin?
r $\in$ R\M olsun.M bir ideal olduğundan M $\subset$ (r) + M $\subset$ R.
M maksimal olduğundan (r)+M = R ve $1_r$ $\in$ Rdir.
x$\in$ R ve m$\in$ M olduğundan rx+m = $1_r$ buradan $1_r$- rx $\in$ M
M$\not=$ R ve M maksimal olsun. Bu durumda $\exists$r $\in$ R öyleki r $\not\in$ M. O halde M$\subset$ (r)+M $\subset$ R yazabiliriz. M maksimal olduğundan R= (r)+ M dir. $1_r$ $\in$ R olduğunu biliyoruz. O halde $1_r$ = rx+m olacak şekilde bir m$\in$ M ve $\exists$x $\in$ R . Buradan $1_r$ - rx=m$\in$ M elde ederiz.. böylece $1_r$ - rx$\in$ M olacak şekilde $\exists$x $\in$ R .