\sum _{j=1}^{n}f\left( t_{j}\right) \left( x_{j}-x_{j-1}\right) sadece || P|| (bir sayı) ye bağlı (bir veya çok değişkenli) bir fonksiyon değil. O nedenle \lim _{\left\| p\right\| \rightarrow 0}\sum _{j=1}^{n}f\left( t_{j}\right) \left( x_{j}-x_{j-1}\right) yi normal bir limit olarak düşünmemek gerekir, biraz sembolik bir ifade. İntegral tanımında bir de "t_i\in[x_{i-1},x_i] sayıları nasıl seçilirse seçilsin" (koşulu) sözcüğü vardır. Ayrıca x_i-x_{i-1} de || P|| ye değil, P (bir küme) ye bağlı sayılardır.
(Riemann integralinin alt-üst toplam tanımından geriye dönerek) Şöyle düzenlenebilir ama yararlı olur mu emin değilim:
Her n\in \mathbb{N} ve 1\leq j\leq n için, için \Delta_{n,j}(f)=\sup\{f(x):x\in[a+\frac{b-a}n (i-1),a+\frac{b-a}n i]\}-\inf\{f(x):x\in[a+\frac{b-a}n (i-1),a+\frac{b-a}n i]\}(=M_j-m_j) olmak üzere:
\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}n\sum_{j=1}^n\Delta_{n,j}(f)=0
olması f nin [a,b] aralığında integrallenebilir olması için gerekli ve yeterlidir.
Şimdi sağdaki ifade sadece n ye bağlıdır (elbette, limitte, b-a yerine 1 yazılabilir).
Önermesi doğru olur gibi geliyor bana. (limitin, integralin değeri olmaması bir dezavantaj)