$\sum _{j=1}^{n}f\left( t_{j}\right) \left( x_{j}-x_{j-1}\right) $ sadece $|| P||$ (bir sayı) ye bağlı (bir veya çok değişkenli) bir fonksiyon değil. O nedenle $\lim _{\left\| p\right\| \rightarrow 0}\sum _{j=1}^{n}f\left( t_{j}\right) \left( x_{j}-x_{j-1}\right) $ yi normal bir limit olarak düşünmemek gerekir, biraz sembolik bir ifade. İntegral tanımında bir de "$t_i\in[x_{i-1},x_i]$ sayıları nasıl seçilirse seçilsin" (koşulu) sözcüğü vardır. Ayrıca $x_i-x_{i-1}$ de $|| P||$ ye değil, $P$ (bir küme) ye bağlı sayılardır.
(Riemann integralinin alt-üst toplam tanımından geriye dönerek) Şöyle düzenlenebilir ama yararlı olur mu emin değilim:
Her $n\in \mathbb{N}$ ve $1\leq j\leq n$ için, için $\Delta_{n,j}(f)=\sup\{f(x):x\in[a+\frac{b-a}n (i-1),a+\frac{b-a}n i]\}-\inf\{f(x):x\in[a+\frac{b-a}n (i-1),a+\frac{b-a}n i]\}(=M_j-m_j)$ olmak üzere:
$$\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}n\sum_{j=1}^n\Delta_{n,j}(f)=0 $$
olması $f$ nin $ [a,b]$ aralığında integrallenebilir olması için gerekli ve yeterlidir.
Şimdi sağdaki ifade sadece $n$ ye bağlıdır (elbette, limitte, $b-a$ yerine 1 yazılabilir).
Önermesi doğru olur gibi geliyor bana. (limitin, integralin değeri olmaması bir dezavantaj)