Matematik Kafası - Akademik Matematik için yeni soru ve cevaplar

Cevaplandı: Ramanujan' ın "En kolay eşitliği"

Wed, 01 Apr 2026 19:42:44 +0000

G. Hardy, bu eşitliğe, "Ramanujan' ın en kolay eşitliği" adını vermiş!
eloi2 $$f(x)=\frac{x}{1}+\frac{x^3}{1\cdot3}+\frac{x^5}{1\cdot3\cdot5}+\frac{x^7}{1\cdot3\cdot5\cdot7}+\cdots$$
   fonksiyonunun $f'(x)=xf(x)+1$ diferansiyel denklemini sağladığını göstermiş. Bu denklemi çözelim:
   $e^{-x^2/2}f'(x)-xe^{-x^2/2}f(x)=e^{-x^2/2}$
   $\left(e^{-x^2/2}f(x) \right)' =e^{-x^2/2}\Rightarrow f(x)=e^{x^2/2}\int e^{-x^2/2}dx $ olur.
   $f(0)=0$ olduğundan, $f(x)=e^{x^2/2}\displaystyle \int_0^xe^{-t^2/2}dt$ bulunur. Buradan
   \[\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{1\cdot3\cdot5}+\frac{1}{1\cdot3\cdot5\cdot7}+\cdots=f(1)=\sqrt{e}\int_0^1e^{-t^2/2}dt \]elde edilir.
   Diğer terim daha zor olacak:
   $\int_0^{+\infty} e^{-t^2/2}dt=\sqrt{\frac{\pi}{2}} $ olduğundan
   ikinci terimin (sonsuz sürekli kesrin) $ \sqrt{e}\int_1^{+\infty}e^{-t^2/2}dt $ e eşit olduğunu göstermek yeterli olacaktır.
   $g(x)=e^{x^2/2}\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t^2/2}dt=e^{x^2/2} \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{x}e^{-t^2/2}dt\right) $ olsun.
   $g'(x)=xg(x)-1$ ve $g(0)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ olur.
   (Kısalık için) $y=g(x)$ diyelim. $y'=xy-1\Rightarrow y''=xy'+y \Rightarrow y'''=xy''+2y'$ ve (tümevarımla)
   $y^{(n+1)}=xy^{(n)}+ny^{(n-1)}$
   $y=\dfrac{1}{x-\frac {y'}y},\quad \dfrac{y'}{y}=\dfrac{-1}{x-\frac{y''}{y'}},\quad \dfrac{y''}{y'}=\dfrac{-2}{x-\frac{y'''}{y''}},\quad \dfrac{y'''}{y''}=\dfrac{-3}{x-\frac{y''''}{y'''}} \cdots$
   \[ y=\frac{1}{x-\frac{-1}{x-\frac{-2}{x-\frac{-3}{x-\frac{y''''}{y'''}}}}}=\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{2}{x+\frac{3}{x+\frac{y''''}{y'''}}}}} \]
   Bu şekilde devam edilerek (Burada bazı boşluklar var (yakınsaklık!))
   \[ y=\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{2}{x+\frac{3}{x+\frac {4}{x+\ddots}}}}} \]fonksiyonu istenen diferansiyel denklemi sağlar. $g(0)=\sqrt{\frac\pi2}$ olup olmadığını kontrol edelim:
   $$g(0)=\frac{1}{0+\frac{1}{0+\frac{2}{0+\frac{3}{0+\frac {4}{0+\ddots}}}}}=\frac{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdots}{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdots} $$
   Wallis formülünden, $\dfrac\pi2=\dfrac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot8\cdot8\cdots}{1\cdot1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7\cdots}$ dir. Buradan, $g(0)=\sqrt{\frac\pi2}$ elde edilir (burada da açıklanması gereken noktalar var!).
   Öyleyse:
   \[\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac3\ddots}}}=g(1)=\sqrt{e} \int_1^{+\infty}e^{-t^2/2}dt \]Buradan,
   $$f(1)+g(1)=\sqrt{e}\int_0^{\infty}e^{-t^2/2}dt=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}$$ elde edilir. Bu da, istenen eşitlikdir.
(Bu çözümü şurada gördüm.)

Topologia uniferside bir ders

Fri, 18 Jul 2025 12:04:34 +0000

İnjeksiya (İnjeksiyon) - Surjeksiya (Sürjeksiyon) - Biyeksiya (Biyeksiyon) 1.f:R->R,f(x)=x^2

2.f:R->R,f(x)=Cosx

3.f:R->R,f(x)=2^x

4.f:R->[0,+sonsuz ) , f(x)=x^2

5,f:[0,pi]->[-1;1],f(x)=cosx cevabi nasi olmali

8 mertebeli bir grubun izomorf olabileceği tüm grupları yazınız

Thu, 02 Jan 2025 06:51:25 +0000

8 mertebeli bir grubun izomorf olduğu tüm grupları yazınız

Gödel teoremler kitabından ilkel özyinelemeli sorusu

Tue, 08 Oct 2024 06:44:26 +0000

Definition 2.1. Suppose f is a k-place function (k ≥ 1) and
g is a (k + 2)-place function. The function defined by primitive recursion from f and g is the (k + 1)-place function h defined by the equations
h(x0, . . . , xk−1,y) = f (x0, . . . , xk−1)
h(x0, . . . , xk−1,y + 1) = g (x0, . . . , xk−1,y,h(x0, . . . , xk−1,y))

Proposition 2.5. The multiplication function

mult(x,y) = x · y is primitive recursive.

Problem : Prove Proposition 2.5 by showing that the primitive recursive definition of mult is can be put into the form re-quired by Definition 2.1 and showing that the corresponding functions f and g are primitive recursive.

Bu fonksiyon homomorfizm mi?

Mon, 10 Jun 2024 18:40:08 +0000

$f: (A_1\times A_2)\otimes B \rightarrow (A_1 \otimes B) \times (A_2\otimes B)$

$(a_1,a_2)\otimes b \mapsto ((a_1\otimes b),(a_2\otimes b))$

nasıl bir + işlemi tanımlı ki bu fonksiyon için

$f((a_1,a_2)\otimes b_1 + (a_3,a_4)\otimes b_2)=f((a_1,a_2)\otimes b_1)+f((a_3,a_4)\otimes b_2)$

eşitliğini sağlıyor?

$+:((A_1\times A_2)\otimes B)\times ((A_1\times A_2)\otimes B)\rightarrow ((A_1\times A_2)\otimes B)$

$((a_1,a_2)\otimes b_1,(a_3,a_4)\otimes b_2) \mapsto (a_1,a_2)\otimes b_1+(a_3,a_4)\otimes b_2 =?$

Bu işleme bir eşitlik arıyorum çünkü f fonksiyonu + içeren bir şey taşımıyor yani bu toplama işleminin f'in taşıyabileceği formdaki bir eşitliği olması gerekiyor ki homomorfizmi gösterebilelim değil mi yanlış mı düşünüyorum acaba?

Halkanın bir modülle tensör çarpımı daima aynı halkayı verir mi? Ve bu durum toplamsal abelyen grup için geçerli midir?

Sun, 09 Jun 2024 17:46:04 +0000

Yani; $M\sim R-modul, R\sim halka \Rightarrow R\otimes_R M \cong M$ midir?

$f: R\otimes_R M \rightarrow M$

       $r\otimes m \mapsto r.m$ (M R-modül olduğundan bu şekilde tanımlanabilir)

$g: M \rightarrow R\otimes_R M$

      $m\mapsto 1\otimes m$

olacak şekilde $fg=1_M$ ve $gf=1(R\otimes_R M)$ (ikinci birimde tensör çarpımı 1'in altına yazamadım gf tensör çarpımın birimi demek istedim) olduğu gösterilmeli.

$(fg)(m)=f(g(m))=f(1\otimes m)=1.m=m=1_M(m)$

$(gf)(r\otimes m)=g(f(r\otimes m))=g(r.m)=1\otimes r.m=r\otimes m=1(R\otimes_R M)(r\otimes m)$ şeklinde fg ve gf birim fonksiyonları vardır. Bu durumda halkanın bir modülle tensör çarpımı o modüle izomorftur diyebiliriz.

Aynı durum toplamsal abelyen grup için geçerli midir kısmında G toplamsal abelyen grup olacak şekilde

$R\otimes_R G \cong G$ olup olmadığı gösterilmeli

$f: R\otimes_R G \rightarrow G$

        $r\otimes g \mapsto f(r\otimes g) = g+g+...+g$ şeklinde r tane g'nin toplamı olarak tanımlanabilir (G toplamsal abelyen grup)

$f': G \rightarrow R\otimes_R G$

         $g\mapsto 1\otimes g$

olacak şekilde $(ff')(g)=f(1\otimes g)=g=1_G(g)$ ve $(f'f)(r\otimes g)=f'(g+g+...+g)=1\otimes (g+g+...+g)=(1\otimes g)+(1\otimes g)+...+(1\otimes g)=r.(1\otimes g)=r.1\otimes g=r\otimes g=1(R\otimes_R G)(r\otimes g)$ olduğundan bu durum toplamsal abelyen grup için de geçerlidir yani $R\otimes_R G \cong G$ dir.

Sorum şu; 2. durum her $R$ halkası için geçerli midir? Özel olarak $R=\mathbb{Z}$ almak gerekir mi?

Bunun dışında bu gösterimde eksik veya hatalı bir yer var mıdır?

$F$ cisim ise $F[X]$ bir cisim midir?

Sun, 09 Jun 2024 16:26:57 +0000

$F[X]$ polinomlar halkasının cisim olabilmesi için birimli, değişmeli ve $F[X]^*$ tersiner olmalı. 1 sabit polinomunun birim eleman olduğu ve polinomların 2. işleme göre abelyen (değişmeli) olduğu açıktır. Ancak $F[X]^*$ tersinerleri yalnızca bazı basit polinomlar ile derecesi 0 olan polinomlardır. Yanı her polinomun tersi yoktur. O halde $F[X]^*$ için 0'dan farklı her elemanın tersi vardır diyemeyiz. Bu sebeple $F$ cisim iken $F[X]$ cisim değildir.

Burada sorum şu; her polinomun tersi olmadığını göstermek için şunu yapıyorum:

polinom halkası tanımından polinomların

$f(X) = \sum a_iX^i$ ile ifade edildiğini biliyoruz. Burada $i$ 0'dan sonsuza alındığından x'li terimlerin 0'dan küçük bir kuvveti olamayacağı açıktır. Ancak bir polinomun çarpma işlemine göre tersi alındığında negatif kuvvetli bir x'li terim bulunabilir ki bu polinom belirtmeyeceğinden 2. işleme göre ters eleman olamaz. Örneğin $x^2$nin tersi $1/x^2$ olamaz çünkü $x^-2\notin F[X]$

O halde $H$ birimli ve değişmeli halka iken $H[X]$ de birimli, değişmeli halkadır ancak $H$ yerine $F$ cismi alındığında $F$ cisim iken $F[X]$ cisim değildir diyebiliriz.

Soruma dönüyorum; bu açıklamada eksik veya hatalı bir kısım var mı? Her polinomun tersinin olmadığını göstermek için birebir ve örtenlikten mi yararlanmalıyım yoksa bu açıklama doğru ve yeterli midir?

Cevaplandı: 3. ,4. ve 5.dereceden denklemler için çözüm yöntemleri

Fri, 23 Feb 2024 03:08:15 +0000

5. dereceden polinomlar icin soyle bir sey varmis.

Yüksek boyutlu matrisler arasındaki

Tue, 16 Jan 2024 07:15:09 +0000

$f: \mathbb{R}^{l_{1}\times \dots \times l_{\alpha}} \longrightarrow \mathbb{R}^{n_{1}\times \dots \times n_{\beta}} $

$g: \mathbb{R}^{n_{1}\times \dots \times n_{\beta}} \longrightarrow \mathbb{R}^{m_{1}\times \dots \times m_{\gamma}} $

$h: \mathbb{R}^{l_{1}\times \dots \times l_{\alpha}} \longrightarrow \mathbb{R}^{m_{1}\times \dots \times m_{\gamma}} $

ve $h=g \circ f$ olsun.

$dx=[\,dx_{i_{1}\times \dots \times i_{\alpha}}\,]_{l_{1}\times \dots \times l_{\alpha}}$

$dh=[\,dh_{i_{1}\times \dots \times i_{\gamma}}\,] _{m_{1}\times \dots \times m_{\gamma}}$ olmak üzere,

$dh=\nabla_{x}h \bullet dx$ olacak şekilde $\nabla_{x}h$ yüksek boyutlu matris nasıl hesaplanıyor ve $\bullet$ işlemi nasıl tanımlanıyor?

Bir $X$ kümesinin sonlu sayıda altkümelerini açık kabul eden topolojinin eleman sayisi.

Tue, 21 Nov 2023 11:31:08 +0000

$X$ herhangi bir küme ve $\mathcal{A}:=\{A_i\subseteq X:( i=1,2,...,n)(i\neq j \Rightarrow A_i\nsubseteq A_j) \}$ olsun.

$ \mathcal{A}$ ailesinin ürettiği (doğurduğu) topoloji $\langle\mathcal{A}\rangle=\tau_{\mathcal{A}}$ olsun. Buna göre $\max|\tau_{\mathcal{A}}| =?$

$\textbf{Not}:$ $n=1 \Rightarrow \max|\tau_{\mathcal{A}}| =3$

$n= 2\Rightarrow \max|\tau_{\mathcal{A}}| =6$

$n=3 \Rightarrow \max|\tau_{\mathcal{A}}| =19$

Cevaplandı: Boolean cebiri nedir?

Tue, 07 Nov 2023 12:54:48 +0000

Bir örnek daha Handan hocam:

$(X,\tau)$ topolojik uzay olsun. Bir $(X,\tau)$ topolojik uzayındaki tüm regüler açık (kapanışının içi kendisine eşit olan kümeler) kümelerin oluşturduğu aileyi $RO(X)$ ile gösterelim.

$U\wedge V:=U\cap V$

$U\vee V:=\overline{U\cup V}^{\circ}$

$U^{\perp}:=\overline{(\setminus U)}^{\circ}$

$0:=\emptyset$

$1:=X$

şeklinde ele alınırsa

$(RO(X),\wedge,\vee,\perp,0,1)$

altılısı bir Boole cebiri olur.

Bir üstte yer alan $\text{Clop}(X)$ Boole cebiri, bu $RO(X)$ Boole cebirinin bir altcebiridir.

Skolem-Mahler-Lech teoremi ve Fermat'ın son teoremi arasında bağlantı

Tue, 15 Aug 2023 09:38:47 +0000

$x,y,z>0 \in \mathbb{Z}$ ve $p$ tek asal sayı olmak üzere $x^p+y^p=z^p$ eşitliğinin çözüm kümesi olmadığını fermat'ın son teoremi olarak biliyoruz.

Şimdi bundan farklı olarak köklerinin hepsi tamsayı ve bir tanesi negatif olan 3.dereceden polinom düşünelim. $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ olsun. $x>0$ , $y>0$ ve $z<0$ bu polinomun tamsayı kökleri olsun. $P(x)$ i karakteristik polinom olarak düşünürsek $P(x)$ in lineer indirgemeli dizisi

$aa_{n+3}+ba_{n+2}+ca_{n+1}+da_n=0$ olacaktır. Ayrıca biliyoruz ki

$a_n=Ax^n+By^n+Cz^n$ olarak yazabiliriz. Biz $A=B=C=1$ olacak şekilde ayarlayabiliriz. Eğer $n>0$ olarak düşünürsek fermat'ın son teoremine göre hiçbir $n$ için $a_n=0$ olamaz. Eğer bir $n_1$ için $a_{n_1}=0$ olursa $z=-t$ için $x^n+y^n=t^n$ olur bu da çelişki olur.

Başka bir taraftan baktığımız zaman skolem mahler lech teoremi $a_n=0$ olarak $n$ ler ile ilgileniyor ve bu $n$ lerin bir aritmetik dizi oluşturabileceğinden bahsediyor. Bu ikisi arasında bağlantı var mıdır ? Varsa nedir ?

Sonlu cisimler üzerinde tanımlanan bir fonksiyonun minimumu/maksimumu nasıl bulunur?

Tue, 23 May 2023 15:03:20 +0000

İyi günler hocalarım,

$m(x), \mathbb{Z_2}$ üzerinde tanımlı $n.$ dereceden indirgenemez bir polinom olsun.

$\mathbb{F} =\mathbb{Z_2}/<m(x)>,$ $p(x) \in \mathbb{F}[x]$ ve $d$ Hamming uzaklığı olmak üzere;

$f: \mathbb{F} \longrightarrow \mathbb{N}$

$x \longmapsto d(0,p(x))$

olarak tanımlansın.

Bu polinomun minimum veya maksimumlarını nasıl bulabiliriz?

(Hamming uzaklığı kullanabilmek için $\mathbb{F}=\{0,1\}^n$ olarak alınabilir.)

X sonsuz kümesi üzerinde kofinit topoloji tanımlı olsun. Bu durumda X birinci sayılabilir uzay mıdır?

Sat, 06 May 2023 06:10:46 +0000

Kofinit topoloji, birinci sayılabilir uzay

Her T4 uzayı regüler midir?

Sat, 06 May 2023 06:10:43 +0000

T4 uzayı, regüler

Aitken delta kare surecini, vektorel yakinsak dizilerin yakinsama hizini arttirmak icin kullanmak

Mon, 01 May 2023 18:28:34 +0000

Aitken Delta Sureci yakinsak dizilerin yakinsama hizini arttiriyor.

Kisaca $X = (x_n)_n$ seklinde bir seri olsun,

$AX = (\frac{x_n x_{n+2} - x_{n+1}^2}{x_n + x_{n+2} - 2x_{n+1}} )_n$
seklinde tanimlaniyor ayni sayiya daha hizli yakinsiyor.

Merak ettigim nokta bu islemi reel/komplex olmayan dizilerle de yapip yapamayacagim. Mesela elimde bir vektor serisi olsa $(0,0)$ a yakinsayan, bu islemi nasil kullanicam sonucta vektorleri ne carpabilirim ne de bolebilirim, acaba componentwise bolmem cikarmam ve carpmam gerekiyor?

$\|f(a,b)\|^2 = \|a\|^2\|b\|^2 - \langle a,b \rangle ^2$ ifadesini saglayan bilinear $f$ ler

Sat, 15 Apr 2023 19:02:04 +0000

$3.$ boyutta $\|a\times b\|^2 = \|a\|^2\|b\|^2 - \langle a,b \rangle ^2$
ifadesi dogru
Baska boyutlarda (veya ucuncu boyutta) bu ifadeyi dogru yapan bilinear fonksiyonlar var mi?

diferansiyel geometri bir izometrinin teğet dönüşümü

Sat, 08 Apr 2023 07:54:23 +0000

F=TC zometrisinin ; p noktasından geçen q ≠ 0 ya ortogonal olan düzlemi ,F(p) noktasından geçen C(q) ya ortogonal olan bir düzleme taşındığını gösteriniz

Cevaplandı: Goldbach hipotezi ve İkiz asallar sanısı

Mon, 13 Feb 2023 17:11:21 +0000

Hipotezini İTÜ ye gelip inceleme veya seninle görüşme imkanımız varmı ? Varsa numaram :

0531 279 83 98

Görüşlerinizi merakla bekliyorum saygılarımla.

Nümerik analizde fark denklemlerini çözerken özel çözümü nasıl oluşturuyoruz?

Wed, 21 Dec 2022 20:42:48 +0000

$y_{k+2}-2y_{k+1}+y_k=3+k+4^k $ fark denkleminde özel çözümü nasıl buluyoruz?

Cevaplandı: Petersen çizge ve genelleştirilmiş petersen çizge nedir ?

Mon, 12 Dec 2022 06:43:22 +0000

Petersen grafiği, beş köşe ve 15 kenardan oluşan bir grafiktir, beş köşe bir Pentagon şeklinde bağlanır ve diğer beşi başka bir beşgen şeklinde bağlanır.

Genelleştirilmiş Petersen grafiği, Petersen grafiğinin bir uzantısıdır, burada sadece 10 değil, herhangi bir sayıda köşeye sahip olabilir ve beşgen veya diğer normal şekillerde herhangi bir sayıda kenara sahip olur.

Cevaplandı: "Band kongrüansı" ve "dikdörtgensel band kongrüansı" kavramları hakkında bilgisi olan tanıtabilir mi? Çok teşekkürler.

Mon, 12 Dec 2022 06:43:18 +0000

Band kongrüansı, herhangi bir iki setin sadece aralarında bir döngü varsa aynı boyutta olduğunu belirten matematiksel bir kavramdır.

Dikdörtgensel band kongrüansı, bir seti diğerine eşleyen doğrusal bir dönüşüm varsa, iki set ardışık tamsayının uyumlu olduğu söylendiği bu kavramın bir uzantısıdır.

Formul;
Band kongrüansı, aynı boyuttaki iki A ve B kümesi arasında bir f fonksiyonu varsa, o zaman A'daki her a elemanı için f(a) = b olacak şekilde aynı boyutta bir ters f-1 olması gerektiğini belirtir ve B'deki her b elemanı için, f-1(b) = a dır.

Dikdörtgensel band kongrüansı bu kavramın bir uzantısıdır, öyle ki, A'daki tüm a ve B'deki b, T gibi A'dan B'ye doğrusal bir T dönüşümü varsa, iki ardışık tamsayı A ve B kümesinin uyumlu olduğu söylenebilir; T(a) = b

Cevaplandı: Asal sayıların formülü Martin Gardner'ın hangi kitabında yer alıyor? Ya da asal sayıların formülü nedir?

Mon, 12 Dec 2022 06:42:54 +0000

Asal sayıların Formülünü Martin Gardner'ın The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications adlı kitabında bulabilirsin. Kitap, asal sayıların özelliklerini ayrıntılı olarak açıklamanın yanı sıra, bunlarla ilgili çeşitli bulmacalar ve oyunlar da sunuyor.

Asal sayıların formülüne gelince; yalnızca kendisine ve 1'e bölünebilen herhangi bir sayıdır. Bir asal sayı, kendisi ve 1 dışında başka hiçbir sayıya eşit olarak bölünemez.

Kitap linki:

https://www.amazon.co.uk/Last-Recreations-Hydras-Mathematical-Mystifications/dp/0387258272

Umarım yardımcı olur.

topoloji-süzgeç bazı

Sat, 19 Nov 2022 07:50:15 +0000

Her n ∈ ℕ için ௡ = {, + 1, + 2, … } için = {௡ ∣ ∈ ℕ} sınıfının ℕ de bir süzgeç bazı olup olmadığını gösteriniz.

komşuluklar ailesi-topoloji

Sat, 19 Nov 2022 07:50:13 +0000

= {, , , } için = { , ∅,{},{},{, },{, },{, , },{, , } } topolojisi verilsin. ௫ komşuluklar ailesini bulunuz.

süzgeç-ultra süzgeç-metrik uaza

Sat, 19 Nov 2022 07:50:00 +0000

a) = {, , , } kümesi verilsin. X üzerindeki tüm süzgeç, ultra süzgeçleri bulunuz.

b) Her n ∈ ℕ için ௡ = {, + 1, + 2, … } için = {௡ ∣ ∈ ℕ} sınıfının ℕ de bir süzgeç bazı olup olmadığını gösteriniz.

c) = {, , , } için = { , ∅,{},{},{, },{, },{, , },{, , } } topolojisi verilsin. ௫ komşuluklar ailesini bulunuz.

Her vektör uzayı bir afin uzayıdır.

Fri, 04 Nov 2022 18:01:28 +0000

Her vektör uzayı bir afin uzayıdır. Gösteriniz.

A kesişim B eşittir B kesişim A ya nasıl eşittir

Fri, 04 Nov 2022 13:24:38 +0000

AkesişimB=BkesişimA yı ispatlayınız

Bir doğruya dışındaki bir noktadan çizilen doğruların en kısası doğruya dik olandır ifadesini olmayana ergi metoduyla ispatlayınız.

Fri, 04 Nov 2022 13:24:33 +0000

"Bir doğruya dışındaki bir noktadan çizilen doğruların en kısası doğruya dik olandır" ifadesini olmayana ergi metoduyla ispatlayınız.

Sup(A) , A kümesinin yığılma noktası değildir

Tue, 01 Nov 2022 13:44:56 +0000

"sup(A),A kümesinin yığılma noktası değildir." özelliğini sağlayan sınırlı bir altküme A C R örneği veriniz.

(x² − 1)y ′ + 2y = 0, y(3) = 6 başlangıç değer problemini çözünüz.

Tue, 25 Oct 2022 21:53:12 +0000

difernasiyel denklemler, başlangıç değer problemleri

Grup halkasının, grup temsili, bisets, Mackey functors, Green functors ve izleç arasındaki ilişki nedir

Mon, 24 Oct 2022 05:29:45 +0000

Grup halkalarının temsil teorisi, bisets, Mackey functors, Green functors, izleç arasındaki ilişki nedir?

Minumum değer ama reel sayılarda

Thu, 06 Oct 2022 03:24:24 +0000

Carpimlari 36 olan 2 reel sayı arasından toplamları minimum deger nedir ?

Aralarında asal

Sun, 02 Oct 2022 05:43:53 +0000

2a+b ile b-2c aralarında asal sayılardır.6a+b+4c=0 olduğuna göre a+b-c ifadesinin değeri?

Cevaplandı: Polinomlar için pell denklemi

Wed, 17 Aug 2022 18:57:03 +0000

Verilen denklemi düzenlersek $$\left(\frac{1}{2}\left(P(x)-\sqrt{q}Q(x)\right)\right)\left(\frac{1}{2}\left(P(x)+\sqrt{q}Q(x)\right)\right)=x^{q-1}+x^{q-2}+\cdots+x+1$$ olacaktır. Sağ tarafın kökleri $i=1,2,\dots, q-1$ için $e^{\frac{2\pi i}{q}}$ şeklindedir veya $\zeta=e^{\frac{2\pi i}{q}}$ için $\zeta^i$ formatındadır. Yani, $$\left(\frac{1}{2}\left(P(x)-\sqrt{q}Q(x)\right)\right)\left(\frac{1}{2}\left(P(x)+\sqrt{q}Q(x)\right)\right)=\prod_{i=1}^{q-1}(x-\zeta^i)$$ olacaktır. Sağ tarafı uygun şekilde iki polinomun çarpımı olarak yazmaya çalışmalıyız. Bu ayırdığımız polinomların dereceleri aynı olmalıdır çünkü $P(x)-\sqrt{q}Q(x)$ ve $P(x)+\sqrt{q}Q(x)$ polinomlarının dereceleri aynı olmalıdır. Dolayısıyla ikisi de $\left(\frac{q-1}{2}\right)$. dereceden polinomlardır. Eşitliğin sağ tarafını eşit dereceli iki polinoma birçok farklı şekilde ayırabiliriz ama bir mantığa göre ayırmamız işimize gelecektir. $q$ modunda tam olarak $\frac{q-1}{2}$ tane karekalan olduğunu biliyoruz. Farklı ayırmalar ile belki farklı çözümler gelebilir ama bu çözümün devamında $i$'nin karekalan olup olmamasına göre ayıracağız. $R$ ile karekalanları $N$ ile karekalan olmayan kalanları gösterelim ($0$ karekalan değildir), $$\prod_{i=1}^{q-1}(x-\zeta^i)=\left(\prod (x-\zeta^R)\right)\left(\prod (x-\zeta^N)\right)$$ olarak ayıralım ve bu polinomların istenileni sağladığını gösterelim. Şimdi $\prod (x-\zeta^R)$ ve $\prod (x-\zeta^N)$ polinomlarını $x$'e bağlı polinomlar yerine $\{\zeta, \zeta^2,\dots,\zeta^{q-1}\}$ sayılarının linear kombinasyonları olarak yazalım. Örnek vermek gerekirse, $q=5$ için $$\prod (x-\zeta^R)=(x-\zeta)(x-\zeta^4)=x^2-(\zeta+\zeta^4)x+1=-(x^2+1)(\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4)-(\zeta+\zeta^4)x$$ $$=-(x^2+x+1)\zeta-(x^2+1)\zeta^2-(x^2+1)\zeta^3-(x^2+x+1)\zeta^4$$ Örnekten de anlaşılabileceği gibi $\zeta^i$'ye göre sabit terimleri $1=-\zeta-\zeta^2-\cdots-\zeta^{q-1}$ yazarak istediğimiz hale getirebiliriz. Ayrıca bazı katsayıların da aynı olduğu görülebilir. Gösterim kolaylığı için bu polinoma $F_1(\zeta)$ diyelim yani $x$'e bağlı $\zeta$'lı katsayılardan oluşan bir polinom yerine $\zeta$'ya bağlı $x$'li katsayılardan oluşan bir polinom gibi düşünelim. Karekalan olmayan polinoma da $F_2(\zeta)$ diyelim. Bu durumda eğer $m$ karekalansa $$F_1(\zeta^m)=F_1(\zeta)$$ $$F_2(\zeta^m)=F_2(\zeta)$$ elde edilir. Aynı polinom olduklarından, $F_1(\zeta)$ ve $F_2(\zeta)$'nın açılımında eğer $i\equiv mj\pmod{q}$ sağlanıyorsa $\zeta^i$ ve $\zeta^j$'nin katsayıları aynı olmalıdır. Buradan da yukarıdaki örnekte olduğı gibi karekalan olan kuvvetlerin katsayıları aynı olur. Benzer şekilde karekalan olmayanların da katsayıları aynıdır. Buradan $F_1$ ve $F_2$'yi $A_i$'ler tam sayı katsayılı polinomlar olmak üzere $$F_1(\zeta)=A_1(x)\sum \zeta^R+A_2(x)\sum \zeta^N\tag{1}$$ $$F_2(\zeta)=A_3(x)\sum \zeta^R+A_4(x)\sum \zeta^N\tag{2}$$ olarak yazabiliriz. Eğer $m$ karekalan değilse de $$F_1(\zeta^m)=F_2(\zeta)$$ olacaktır. Buradan da aslında $A_1\equiv A_4$ ve $A_2\equiv A_3$ olduğu ortaya çıkar.

Şimdi de $n_0=\sum \zeta^R$ ve $n_1=\sum \zeta^N$ diyelim. $$n_0+n_1=\sum_{i=1}^{q-1}\zeta^i=-1$$ $$n_0-n_1=\sum \zeta^R-\sum \zeta^N=\sum \left(\dfrac{R}{q}\right)\zeta^R+\sum \left(\dfrac{N}{q}\right)\zeta^N=\sum_{m=1}^{q-1} \left(\dfrac{m}{q}\right)\zeta^m$$ elde edilir. $n_0-n_1=G$ dersek $$G^2=\sum_{m_1=1}^{q-1}\sum_{m_2=1}^{q-1}\left(\dfrac{m_1m_2}{q}\right)\zeta^{m_1+m_2}$$ olur. Tüm değişkenler $q$ modunda tekrar ediyor. Dolayısıyla $m_2\equiv m_1n\pmod{q}$ yazarsak $$G^2=\sum_{m_1=1}^{q-1}\sum_{n=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)\zeta^{m_1(n+1)}=\sum_{n=1}^{q-1}\sum_{m_1=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)\zeta^{m_1(n+1)}$$ olur. İç toplamda eğer $n\equiv -1\pmod{q}$ ise $$\sum_{m_1=1}^{q-1}\zeta^{m_1(n+1)}=q-1$$ değilse, $-1$ olacaktır. Dolayısıyla $G^2=q\left(\dfrac{-1}{q}\right)+\sum_{n=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)(-1)=q\left(\dfrac{-1}{q}\right)$ olacaktır. $q$, $4k+1$ formatında olduğundan $G^2=q$ ve $G=\pm \sqrt{q}$ olarak bulunur. İşaretini bilmediğimizden şimdilik ona $\epsilon \sqrt{q}$ diyelim. Bu durumda $n_0=\frac{1}{2}(-1+\epsilon\sqrt{q})$ ve $n_1=\frac{1}{2}(-1-\epsilon\sqrt{q})$ bulunur. $(1)$ ve $(2)$'de yazarsak $$\prod (x-\zeta^R)=\frac{1}{2}\left((-A_1(x)-A_2(x))+\epsilon\sqrt{q}(A_1(x)-A_2(x))\right)$$ $$\prod (x-\zeta^N)=\frac{1}{2}\left((-A_1(x)-A_2(x))-\epsilon\sqrt{q}(A_1(x)-A_2(x))\right)$$ bulunur. $-A_1(x)-A_2(x)=P(x)$ ve $\epsilon(A_1(x)-A_2(x))=Q(x)$ dersek istenilen sağlanır. Soru biter.

Sonuç 1: Eğer $q\equiv 3\pmod{4}$ olsaydı $G^2=-q$ olacağından aynı işlemleri yaparak $$P^2(x)+qQ^2(x)=4(x^{q-1}+x^{q-2}+\cdots+x+1)$$ olacak şekilde tam sayı katsayılı $P$ ve $Q$ polinomları bulabiliriz.

Sonuç 2: $G=n_0-n_1=\sum\zeta^R-\sum\zeta^N=1+2\sum\zeta^R$ olduğundan $G=\sum_{m=0}^{q-1} \zeta^{m^2}$ olur çünkü $m^2$ ifadesi $q$ modunda karekalanları tam olarak $2$ defa $m=0$ için de $0$'ı tam olarak bir kere alır.

Not 1: Sonuç $2$'yi genelleştirirsek $N$ pozitif tamsayısı ve $\zeta_N=e^{\frac{2\pi i}{N}}$ için $$\sum_{m=0}^{N-1} \zeta_N^{m^2}=\begin{cases} (1+i)\sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 0\pmod{4}~~ \text{ise} \\ \sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 1\pmod{4}~~ \text{ise} \\ 0 \quad &\text{eğer} \, N\equiv 2\pmod{4}~~ \text{ise}\\ i\sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 3\pmod{4}~~ \text{ise} \\ \end{cases}$$

Not 2: Not 1'in sonucu olarak eğer $q\equiv 1\pmod{4}$ ise $G=\sqrt{q}$, eğer $q\equiv 3\pmod{4}$ ise $G=i\sqrt{q}$ bulunur.

Ali 'nin 76 soruda 69 doğrusu 7 yanlışı var 4 yanlış 1 doğru götürmektedir her net 1.2 değerindedir buna göre Ali kaç puan almıştır

Mon, 02 May 2022 23:36:02 +0000

Bu problemin çözümü nedir

G çizgesi tümleyenine izomorfik bir çizge ise yarıçapının 2, çapının ise 2 veya 3 olacağını kanıtlayınız.

Mon, 02 May 2022 23:35:28 +0000

G çizgesi tümleyenine izomorfik bir çizge ise yarıçapının 2, çapının ise 2 veya 3 olacağını kanıtlayınız.

Cevaplandı: Vektorlerin girdilerinin cogunlugunun $0$ oldugu bazi bulmak

Mon, 18 Apr 2022 19:29:32 +0000

$v_i$'leri bir matrisin sütunlarına dizip bu matrise $L$ diyelim. $B$'yi de, baz vektörlerinin sütunlarına dizilmiş bir matris gibi düşünelim. Amacımız $BX=L$ matris denklemini sağlayan bir tersinir matris $B$ ve girdileri çokça $0$'lardan oluşan boyutları $L$ ile aynı olan bir $X$ matrisi bulmak.

Belki teorik değil ama pratik bir çözüm şudur: $[I|L]$ augmented matrisiyle başlayın. Burada $I$ birim matristir. Gauss eliminasyonu satır işlemleri yaparak sağ tarafta elde edebildiğiniz kadar $0$ elde edin. Varacağınız nokta $[B^{-1}|X]$ olacak.

Cevaplandı: ROTMAN GRUP TEORİ 3.7

Thu, 20 Jan 2022 09:38:36 +0000

$C_G(x)H$ in bir grup olduğu $H$ nin $G$ de normal olmasından gelir. Öte yandan $C_H(x)< C_G(x)$ olması bize

$$H<C_G(x)H\leq G$$

yi getirir. $H$ in asal indeksli olması $G=C_G(x)H$ eşitliliğini getirir.

Şimdi $y=x^g$ olsun. Yukarıdaki eşitlikten $g=hc$ olarak yazabiliriz $h\in H$ ve $c\in C_G(x)$ olmak üzere.

$$y=x^g=x^{ch}=x^h.$$

Yukarıdaki eşitlik $x$ ve $y$ nin $H$ de de eşlenik olduğunu gösteriyor.

Cebirsel topoloji

Thu, 20 Jan 2022 09:37:32 +0000

Bir C bölgesinde f,g ve h morfizmleri verilsin. Eğer gf ve hg(morfizmlerinin) birlesimleri tanımlı ise f,g ve h da birer izomorfizmdir, ispat ediniz.

Free abelyen zincir kompleks(abelian chain complex) ve tam zincir kompex(exact chain complex) arasındaki her zincir fonksiyonu, $0$ fonksiyonuna homotopiktir.

Thu, 16 Dec 2021 16:21:02 +0000

Tanımlar (Elimden geldiğince terimleri türkçe yazmaya çalışırım ama durumun anlaşılmasını zorlaştırmamak için ingilizcelerini yazmak zorundayım):

Chain Kompleks:
$$\cdots\xrightarrow{d_{n+2}} C_{n+1}\xrightarrow{d_{n+1}} C_n\xrightarrow{d_{n}} C_{n-1}\xrightarrow{d_{n-1}}\cdots$$

$C_n$: Abelyen grup.
$d_n:C_n\to C_{n-1}$: grup homomorfizmaları

Öyleki $$d_{n}\circ d_{n+1}:C_{n+1}\to C_{n-1}\\ d_{n}\circ d_{n+1}=0$$

Kısaca chain kompleks $$C_{*}=\left\{C_n, d_n:C_n\to C_{n-1}\right\}_{n\in\mathbb Z}$$ $C_n$ diye adlandırılan abelyen gruplardan ve bunlar arasındaki homomorfizmalardan tanımlanıyor öyle ki $d_{n}\circ d_{n+1}=0$. Chain Kompleksi $C_{*}$ ile gösterelim.

Tam (Exact) Chain:

$$\cdots\xrightarrow{d_{n+2}} C_{n+1}\xrightarrow{d_{n+1}} C_n\xrightarrow{d_{n}} C_{n-1}\xrightarrow{d_{n-1}}\cdots$$

$C_{*}=\left\{C_n, d_n:C_n\to C_{n-1}\right\}_{n\in\mathbb Z}$ chain kompleks olsun. Bu chain exacttir ancak ve ancak $ker(d_n)=Im(d_{n+1})$ olursa. (Homology bilenler için)Yani tüm homology grupları 0 olursa $\left(\dfrac{ker(d_n)}{Im(d_{n+1})}=H_n(C)=0\right)$.

Chain Kompleksler arasındaki morfizma:

$C_{*}$ ve $D_{*}$ abelyen grupları ve aralarındaki $d_n^C:C_n\to C_{n-1}$ ve $d_n^D:D_n\to D_{n-1}$ grup homomorfizmaları ile verilsin.

$$f:C_{*}\to D_{*}$$ chain morfizması olsun.

$\require{AMScd}$ \begin{CD} \cdots @>d^C_{n+2}>>C_{n+1} @>d^C_{n+1}>> C_n @>d^C_n>> C_{n-1} @>d^C_{n-1}>> C_{n-2} \cdots \\ \cdots@V f_{n+1} VV \circlearrowleft @VV f_n V \circlearrowleft @VV f_{n-1} V \circlearrowleft@VV \cdots V \\ \cdots @>d^D_{n+2}>>D_{n+1} @>d^D_{n+1}>> D_n @>d^D_n>> D_{n-1} @>d^D_{n-1}>> D_{n-2} \cdots \end{CD}

Öyle ki her kare "commutes" yani her iki yoldan gelinen fonksiyon eşittir, yani $$d_n^D\circ f_n=f_{n-1}\circ d_n^C$$

Chain Homotopi:

$C_{*}$ ve $D_{*}$ chain kompleks olsun ve $$f,g:C_{*}\to D_{*} $$

Chain morfizmaları olsun. $f\simeq g$ yani $f$, $g$'ye homotopik denir ancak ve ancak her $n$ için $h_n: C_n\to D_{n+1}$ grup homomorfizması var ki $$g_n-f_n=d_{n+1}^D\circ h_n + h_{n-1}\circ d_n^C$$ sağlansın.

$\require{AMScd}$ \begin{CD} \cdots @>d^C_{n+2}>>C_{n+1} @>d^C_{n+1}>> C_n @>d^C_n>> C_{n-1} @>d^C_{n-1}>> C_{n-2} \cdots \\ \cdots@V f_{n+1} V g_{n+1}V \swarrow_{h_{n}} @V f_n V g_n V \swarrow_{h_{n-1}} @V f_{n-1} V g_{n-1 }V\swarrow_{h_{n-2}}@VV \cdots V \\ \cdots @>d^D_{n+2}>>D_{n+1} @>d^D_{n+1}>> D_n @>d^D_n>> D_{n-1} @>d^D_{n-1}>> D_{n-2} \cdots \end{CD}

Sorum:

$C_{*}$ ve $D_{*}$ chain kompleks olsun.

$C_{*}$ 'nin grupları $C_n$'ler free abelyen gruplar olsun ve $D_{*}$ exact(tam) chain kompleks olsun (yani $H_n(D)=0,\quad \forall n\in\mathbb Z$)

Gösteriniz: Verilen her chain morfizması $f:C_{*}\to D_{*}$, $0$ morfizmasına homotopik olur.

$\require{AMScd}$ \begin{CD} \cdots @>d^C_{n+2}>>C_{n+1} @>d^C_{n+1}>> C_n @>d^C_n>> C_{n-1} @>d^C_{n-1}>> C_{n-2} \cdots \\ \cdots@V f_{n+1} V 0V \swarrow_{h_{n}} @V f_n V 0 V \swarrow_{h_{n-1}} @V f_{n-1} V 0V\swarrow_{h_{n-2}}@VV \cdots V \\ \cdots @>d^D_{n+2}>>D_{n+1} @>d^D_{n+1}>> D_n @>d^D_n>> D_{n-1} @>d^D_{n-1}>> D_{n-2} \cdots \end{CD}

Öyle grup homomorfizmaları $h_n: C_n\to D_{n+1} $ bulmalıyım ki $f_n=d_{n+1}^D\circ h_n + h_{n-1}\circ d_n^C$ sağlansın. Yani $h_n$'ler $f_n$ lere bağlı olmak zorunda ve indüksiyonel bir şekilde ilerlemem gibi hissediyorum yalnız $h_n$'leri inşaa etmek için diagramdaki okların yönü zorluk çıkarıyor dolayısıyla $C_{*}$ veya $D_{*}$ 'deki grup morfizmalarının bir şekilde invertible oldugunu söylemem gerekiyor. $C_{*}$ free abelyen oldugu için atomik chainlere ayrıldıgını bılıyorum ama bana bir kolaylık saglamıyor.

Sheaf için verilen stalk'ın geometrik temsilcisi az çok neye benziyor?

Wed, 01 Dec 2021 21:43:19 +0000

Diyelim $\mathscr F: Open(X)^{op}\to \mathscr C$, $X$ topolojik uzayı üzerinde $\mathscr C$ değerli bir sheaf olsun.

Burada $Open(X)$ kategorisi, $X$'in tüm açık kümelerini içeren ve morfizmaları "inclusion" olarak verilsin yani:

$U,V\subseteq X$ açık ise $mor(U,V)=\cases{\star,\quad U\subseteq V\\ \emptyset, \quad U\not\subseteq V}$

Genel olarak $\mathscr F: Open(X)^{op}\to \mathscr C$ presheaf olsa bile üzerinde ve $x\in X$'deki stalk'ı $\mathscr F_x$ olarak denklik sınıfları üzerinden veriliyor veya colimit olarak

$\mathscr F_x=\varprojlim\limits_{x\in U-açık}\mathscr F(U)$

Merak ettiğim bu stalkın bir sheaf için geometrik olarak tam olarak ne anlama geldiği, yani bunu bir şekilde görselleştirmek nasıl mümkün, en azından sezgisel olarak. Ayrıca colimit tanımı ve yukarıdaki stalk' linkindeki tanımın eşitliği sezgisel olarak nasıl hissedilebilinir?

Cevaplandı: Eleman sayısı çift olan her grup mertebesi $2$ olan bir eleman içerir.

Tue, 14 Sep 2021 17:52:50 +0000

Cauchy Teoremine göre eğer sonlu bir grubun mertebesini bir asal sayı bölüyorsa, $p$ $|$ $|G|$

O halde $G$, mertebesi p olan bir altgrubu ve elemanı vardır. Burada $p=2$

Cevaplandı: Riemann hipotezinin ispati guvenligi etkiler mi?

Sun, 29 Aug 2021 19:53:50 +0000

Diyelim bir tehlike var. Adam savın doğru olduğunu varsayıp o tehlikeyi gerçekleştireiblir. Yüzde 50'de tutar.

Cevaplandı: Sonuç 20.8'yi kanıtlayalım.

Thu, 26 Aug 2021 20:10:17 +0000

Teorem 20.4= Her metrik uzay baire uzayıdır.

Cevaplandı: Bir $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonun, sürekli olduğu noktalar kümesi tam olarak $\mathbb{Q}$ olabilir mi?

Tue, 24 Aug 2021 06:42:39 +0000

Sonuç 20.9. Sadece kesirli sayılarda sürekli olan bir$ f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu yoktur. Kanıt: $f $: bir fonksiyon olsun. $U(n)$, {$U : U$ açık ve $f(U)$ nun çapı $\frac1n $ den küçük} kümesinin elemanlarının bileşimi olsun. $U(n)$, açık kümelerin bileşimi olduğunudan, elbette açık bir kümedir. $C = \bigcap U(n )$ olsun. $C$ tam tamına $f$ nin sürekli olduğu elemanlar kümesidir. Bunun kanıtı basittir ve okura bırakılmıştır. Sonuç 20.8ye göre $C = \mathbb{Q}$ olamaz.

Sonuç 20.8. $\mathbb{Q},\ \mathbb{R} $ nin sayılabilir sayıda açık altkümesinin kesişimi değildir.

Oniki bin km.lik bir alana 72 bin agac dikilecektir. 1 km.ye kac agac düser? Cevabiniz icin tesekkürler.

Sat, 07 Aug 2021 13:16:23 +0000

Sordugum sorunun nasil cözülecegini bilmek istiyorum.

Soru: Sırt eğrisi s  cos s 2 ,sin s 2 , s 2 olan tors yüzeyinin: (a) denklemini yazıp, dralini bulunuz. Ayrıca dralin sonucunu yorumlayınız. (b) boğaz eğrisini (striksiyon çizgisinin) bulunuz.

Sat, 26 Jun 2021 09:53:08 +0000

Soru: Sırt eğrisi s  cos s 2 ,sin s 2 , s 2 olan tors yüzeyinin: (a) denklemini yazıp, dralini bulunuz. Ayrıca dralin sonucunu yorumlayınız. (b) boğaz eğrisini (striksiyon çizgisinin) bulunuz.

T bir tamlık bölgesi ve p(x) ∈ T[x] olsun. α ∈ T ’nin p(x) in katlı kökü olması için gerek ve yeter şart p(α)=0 ve p'(α) olmasıdır. Gösteriniz.

Wed, 23 Jun 2021 12:02:19 +0000

Soyut cebir

R ve S iki halka olsun. A ve B sırasıyla R ve S nin idealleri olmak üzere (RxS)/(AxB)∼= R/ AxS / B olduğunu gösteriniz.

Wed, 23 Jun 2021 11:54:02 +0000

R ve S iki halka olsun. A ve B sırasıyla R ve S nin idealleri olmak üzere (RxS)/(AxB)&sim;= R/ AxS / B olduğunu gösteriniz.