Çarpım uzaylarında kapalı kümelerin kartezyen çarpımı kapalı mıdır?

Question

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $A\subseteq X$ ve $B\subseteq Y$ olmak üzere

$$(A\in \mathcal{C}(X,\tau_1))(B\in \mathcal{C}(Y,\tau_2))\Rightarrow A\times B\in \mathcal{C}(X\times Y,\tau_1\star\tau_2)$$  olduğunu gösteriniz.

Yani $(X,\tau_1)$ topolojik uzayında kapalı olan bir küme ile $(Y,\tau_2)$ topolojik uzayında kapalı olan bir kümenin kartezyen çarpımının çarpım uzayında da kapalı olduğunu gösteriniz.

Not: $\mathcal{C}(X,\tau):=\{A|(A\subseteq X)(A, \,\ \tau\text{-kapalı})\}$

Answer 1

$\left.\begin{array}{r} (A\in \mathcal{C}(X,\tau_1))(B\in \mathcal{C}(Y,\tau_2))\Rightarrow (\setminus A\in\tau_1)(\setminus B\in\tau_2) \\  \\ (X\in\tau_1)(Y\in\tau_2) \end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow [(\setminus A)\times Y\in\tau_1\star\tau_2][X\times (\setminus B)\in\tau_1\star\tau_2]$

 

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow [(\setminus A)\times Y]\cup [(X\times (\setminus B)]\in\tau_1\star\tau_2 \\ \\ \setminus (A\times B)=[X\times (\setminus B)]\cup [(\setminus A)\times Y]= [(\setminus A)\times Y] \cup [X\times (\setminus B)]\end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow \setminus (A\times B)\in\tau_1\star\tau_2$

 

$\Rightarrow A\times B\in \mathcal{C}(X\times Y,\tau_1\star\tau_2).$

Comments

Hocam yanıt evet mi hayır mı?

---

Önermenin doğru olduğu sonucuna vardık. Yani evet.

---

Şafak merhaba. Soruyu ve cevabı biraz daha düzenledim.

Answer 2

$2.$ bir yanıt olarak da şunu yazabiliriz:

 

$\left.\begin{array}{rr} A\in \mathcal{C}(X,\tau_1)\Rightarrow \overline{A}=A \\ \\ B\in \mathcal{C}(Y,\tau_2)\Rightarrow \overline{B}=B \end{array}\right\}\Rightarrow \overline{A\times B}=\overline{A}\times \overline{B}=A\times B$

 

$\Rightarrow A\times B\in \mathcal{C}(X\times Y,\tau_1\star\tau_2).$