Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
4 beğenilme 0 beğenilmeme
419 kez görüntülendi

$V$ normlu bir uzay $V_0$ da onun bir altuzayı olsun. Diyelim ki öyle bir $c\in(0,1)$ reel sayısı var ki $V$'deki her $v$ elemanı için $$\inf_{w\in V_0}|w-v|\leq c|v|$$ eşitsizliği sağlanıyor. Bu durumda $V_0$ altuzayı $V$ içinde yoğundur. 


Bu iddia doğru mudur? Doğruysa nasıl ispatlarsınız, değilse karşı örnek verebilir misiniz?


Not: Bu soru akademik değil elbette ama lisans için de bana sanki biraz zor olabilir gibi geldi. Tabii ki sorunun bir yanıtı var, ben yalnızca ne olduğunu söylemek istemedim.

Akademik Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 419 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$v\in V$ olsun. $v\in \overline{V_0}$ olduğunu gösterirsek iş biter.

$$\inf_{w\in V_0} |w-v|\leq c|v|$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall \epsilon >0)(\exists w_0\in V_0)\inf_{w\in V_0} |w-v|\leq |w_0-v|<\inf_{w\in V_0}|w-v|+\frac{\epsilon}{2}$$

$$\Rightarrow$$

$$|w_0-v|<c|v|+\frac{\epsilon}{2}\ldots (1)$$

$$c:=\frac{\epsilon}{2|v|}\ldots (2)$$

$$(1),(2)\Rightarrow |w_0-v|<c|v|+\frac{\epsilon}{2}=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$

$$\Rightarrow$$

$$w_0\in B(v,\epsilon)$$

$$\Rightarrow$$

$$B(v,\epsilon)\cap V_0\neq \emptyset$$

$$\Rightarrow$$

$$v\in \overline{V_0}.$$ 

Çok iyi ifade edemedim ama anlaşılıyor sanırım.


(11.4k puan) tarafından 
Peki boyle bir $V_0$ altuzayi ornegi var midir gercekten?

Bu ...(2)'deki c tanımını nasıl yaptık, sabit değil mi o, her v için? Hem v'nin boyuna göre 1'i aşamaz mı değeri?

$c$ sabit. Şunu alalım diyemiyoruz. Sabit bir $c$ için doğru olduğunu biliyoruz. Aslında ispatlanması gereken sabit $c$ varsa istenilen ufaklıkta $c$ de vardır bir anlamda.

Özgür, yoğun her altuzay bu şartı sağlıyor.

Usta, yalnız yanıt yanlış. Yukarıda açıklamaya çalışmıştım.

20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,991 kullanıcı