Question

Rastgele seçilen iki pozitif doğal sayının aralarında asal olma olasılığı nedir(kaçtır)?

Answer 1

Önce soruyu netleştirelim. $N>0$ rastgele bir sayı olsun. $\{0, 1, \ldots, N-1\}$ kümesinden rastgele seçilmiş iki sayının asal olma olasılığı $p(N)$ olsun. Amacımız $p=\lim_{n\to\infty} p(N)$ limitini bulmak. (Varsa tabii! Yoksa Muto arkadaşın bir önceki yorumunda söylediği gibi olasılık belirsiz olabilir.). Bu limit vardır ve $6/\pi^2$'ye eşittir. Bunun tam matematiksel kanıtını değil ama aşağı yukarı elde ediliş şeklini anlatabilirim. Eğer $p$ bir asal sayıysa, sayıların $1/p$'si $p$'ye bölünür. Demek ki rastgele seçilmiş iki sayının $p$'ye bölünme olasılığı $1/p^2$'dir ve dolayısıyla rastgele seçilmiş iki sayının $p$ asalına bölünmeme olasılığı $1-1/p^2$'dir. Bundan da rastgele seçilmiş iki sayının aralarında asal olma olasılığının $$\prod_{p \hbox{ asal}} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \left(\prod_{p \hbox{ asal}} \frac{1}{1-p^{-2}}\right)^{-1}$$ olduğu görülür. Öte yandan $$\prod_{p \hbox{ asal}} \frac{1}{1-p^{-2}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$ eşitliği geçerlidir. (Euler Çarpım Formülü, bkz. http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_the_Euler_product_formula_for_the_Riemann_zeta_function.) Ve Basel Problemi olarak bilinen $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$$ eşitliği Euler tarafından kanıtlanmıştır (http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem). Demek ki $$p = \frac{6}{\pi^2}$$ olur.

Answer 2

Bence belirsizdir ama sonsuzda olabilir.