Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
666 kez görüntülendi

Merhaba,

Her reel sayıya yakınsayan sayılamaz sonsuzlukta Cauchy dizisi vardır. Pekala, her kompleks fonksiyonun sayılamaz sonsuzlukta "power series" açılımı var mıdır? Yakınsaklık yarıçapı içinde evet, ama bir noktada durum nasıldır? Mesela, $z$ bir kompleks sayı olmak üzere, $e^z$ 'nin 0 noktasında sayılamaz sonsuzlukta "power series" açılımı olabilir mi? Taylor katsayılarını kullanarak bilindik açılımı yazabiliyoruz; başka türlü zilyon tane açılım yazabilir miyiz aceb?


Akademik Matematik kategorisinde (86 puan) tarafından  | 666 kez görüntülendi

Güç serisi açılımı tektir.

Neden öyledir? $\{$ $1, z, z^2,...$ $\}$ kümesi lineer bağımsız olduğu için mi?

Herhangi bir karmaşık analiz kitabında ispatını bulabilirsin.

Doğruymuş, hem de onlara göre o kadar barizmiş ki ispatlamaya bile zahmet etmemişler :)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Soruyu doğru anladıysam olamaz. Çünki, (reel sayılarda da) (yakınsaklık yarıçapı pozitif olan) kuvvet serisine açılım tekdir, çünki ($a$ merkezli kuvvet serilerinde) katsayıları, 

 ($f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n$ olmak üzere) $a_n=\frac{f^{n}(a)}{n!}$ eşitliği sağlanır.

(6.1k puan) tarafından 
20,199 soru
21,725 cevap
73,270 yorum
1,885,789 kullanıcı