Kırınım ağında ikinci harmonik üretim olayı nasıl meydana gelir?

Question

Önbilgi olarak sadece Maxwell denklemlerine ihtiyacımız var (derin bir nefes alın, burada fazlasıyla varsayım yapacağız).

Başlarken ortamın manyetik geçirgenliği $\mu$'nün bir olduğunu, hiç harici yük veya akımının olmadığını ve elektromanyetik alanların zamansal değişiminin harmonik olduğunu -yani alanların zamansal değişiminin $\omega$ frekanslı sinüs/cosinüs şeklinde olduğunu: $\vec{E}(x,y,z,t)=\text{Gerçel}[e^{i\frac{\omega t}{c}} \vec{E}(x,y,z)]$ (=fazör temsili)- varsayalım. Zamana göre harmonik Maxwell denklemleri  bu durumda  şöyledir:
$\nabla\times\vec{E}=-\frac{i\omega}{c}\vec{H}$
$\nabla\cdot\vec{H}=0$
$\nabla \times \vec{H}=\frac{i\omega}{c}\vec{D}$
$\nabla\cdot \vec{D}=0$

Malzemenin kutuplanması $\vec{P}$ ile elektriksel alanı arasındaki $\vec{E}$ ilişki malzemenin alınganlığı $\chi$ ile kurulur  (doğrusal olmayan etkileri açıklayabilmek için üssel seri olarak bağıntı yazıyoruz, bütün doğrusal olmayan optiğin derdi de bu zaten): $\vec{P}=\epsilon_0\chi^{(1)}\vec{E}+\epsilon_0 \chi^{(2)}\vec{E}^2+\epsilon_0 \chi^{(3)}\vec{E}^3+...$

 Bir yöndeki alan ile başka bir yöndeki kutuplanma arasında da bir bağ olabileceğinden alınganlıklar genel olarak tensörlerle ifade edilir. İkinci harmonik üretimi $\chi^{(2)}$ ile ilgili olduğundan $\vec{P}=\epsilon_0\chi^{(1)}\vec{E}+\epsilon_0 \chi^{(2)}\vec{E}^2$ varsayalım. $\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)$ ve $j=1,2,3$ satırı için $(4\pi\chi^{(2)}(x,\omega):\vec{E}\vec{E})_j:=4\pi\displaystyle\sum_{k,l=1}^{3}\chi^{(2)}_{jkl}E_kE_l:=(\epsilon_0 \chi^{(2)}\vec{E}^2)_j$   tanımını yaptığımızda
 $\vec{D}=\epsilon \vec{E}+4\pi\chi^{(2)}(x,\omega):\vec{E}\vec{E}$'yi buluruz.
 
Malzemeye düşen ışık dalgalarının enerjisinin hiç azalmadığını varsayarsak i.h.ü. için şu denklemleri yazabiliriz:
$\vec{D}(\vec{x},\omega_1)=\epsilon(x,\omega_1)\vec{E}(\vec{x},\omega_1)$ ($\omega=\omega_1$ aynı frekanslı dalga için doğrusal terim yetiyor.)
$\vec{D}(\vec{x},\omega_2)=\epsilon(x,\omega_2)\vec{E}(x,\omega_2)+4\pi\chi^{(2)}(x,\omega_2):\vec{E}(x,\omega_1)\vec{E}(x,\omega_1)$

Soru 1: Frekansın ikiye katlandığı dalgayı betimleyen ikinci denklemi açıklayabilirmisiniz?

Işınımız enine elektrik/manyetik (ingl. transverse electric/magnetic) kutuplanmada  demek, şekildeki sarı dalga gibi hareket ettiği anlamına gelsin. Hem ee hem de em olduğunu kabul edersek, $u,v$ sayısal değerli göndermeler olmak üzere $\vec{H}(x,\omega_1)=u(x_1,x_2,\omega_1)\vec{x}_3$
$\vec{E}(x,\omega_2)=v(x_1,x_2,\omega_2)\vec{x}_3$ olur. Kolaylık olsun diye $\epsilon_j=\epsilon(x_1,x_2,\omega_j)$, $j=1,2$ ve $\text{Sanal}[k_j]\geq 0$ için $k_j=\frac{\omega_j}{c}\sqrt{\epsilon_j}$'yi tanımlayalım.

Not: $k_j$ kırılma sayısını tanımlar.

Soru 2: $\nabla\cdot\left(\frac{1}{k_1^2}\nabla u\right)+u=0$'ı (*) gösterebilirmisiniz?
 
Alıştırma: $(\triangle+k_2^{2})v=-\frac{4\pi\omega_2^{2}}{c^{2}}\displaystyle\sum_{j,l=1,2,3}\chi_{jl}\partial_{x_j}u\partial_{x_l}u$ (**) eşitliğini bulun,  $\chi_{jl}:=(-1)^{j+l}\frac{16\pi}{\epsilon_1^{2}}\chi_{3,j,l}^{(2)}(x,\omega_2)$  olacak.

 

Kırınım ağımızın yapısından  ötürü sistemimizin $x_1$ yönünde $2\pi$ periyoduyla dönemli, $x_3$ yönünde ise değişmez olduğunu varsayıyoruz. Şekildeki gibi varsaydığımız sistemimizin  bölümlerini küme olarak yazalım:
$\Gamma_j:=\{x_2=(-1)^{j-1}b,0<x_1<2\pi\}$,                          $S_j:=\{0<x_1<2\pi,x_2=\phi_j(x_1)\}$,
$\Omega_1:=\{0<x_1<2\pi,\phi_1(x_1)<x_2<b\}$,             $\Omega_2:=\{0<x_1<2\pi,-b<x_2<\phi_2(x_1)\}$, $\Omega_1^{+}:=\{0<x_1<2\pi,x_2\geq b\}$,                                   $\Omega_2^{+}:=\{0<x_1<2\pi,x_2\leq -b\}$, $\Omega_0:=\{0<x_1<2\pi,\phi_2(x_1)<x_2<\phi_1(x_1)\}$,        $\Omega:=\{0<x_1<2\pi,-b<x_2<b\}$
Soru 3: Bu sınıflandırma hakkında yorum yapabilirmisiniz?

$k_{j1}>0$, $\text{Gerçel}[k_{j2}]>0$ ve $\text{Sanal}[k_{j2}]\geq 0$ sabitler için
$k_j(\vec{x}):=\begin{cases} k_{j1} &\vec{x}\in\Omega_1^{+}\cup\bar{\Omega}_1 \ \mbox{için}  \\ k_{j0} &\vec{x}\in\Omega_0\ \mbox{için} \\ k_{j2} &\vec{x}\in\Omega_2^{+}\cup\bar{\Omega}_2 \ \mbox{için} \end{cases}$ olsun.
Soru 4: Yine bu adımı anlamlandırın.

Sonraki varsayımımız şöyle: $k_{j0}(\vec{x})\in C^{1}(\Omega_0)$, bir $0<\gamma<1$ için $\phi_j(x_1)\in C^{1,\gamma}(0,2\pi)$, $\chi_j\in L^{\infty}(\Omega)$ ve $\forall \vec{x}\in \Omega_1\cup\Omega_2:\chi_j(\vec{x})=0$

Ek soru: Bir iki kelime açıklama nasıl olur?

Soru 5: (*) ve (**)'a şimdi $S_1$'e $\Omega_1^{+}$'den yanaşan $-\pi/2<\theta<\pi/2$ düşme açılı düzlemsel ışık dalgası $u_{\text{düş}}:=u_i e^{i\alpha_1x_1-i\beta{11}x_2}$,   $\alpha_1=k_{11}sin(\theta)$, $\beta_{11}=k_{11}cos(\theta)$ için çözümler bulabilirsiniz?