Atom ve moleküllerin Schrödinger teorisi (kuantum mekaniği)

Question

Kuantum mekaniksel sistem olarak  $N$ elektronlu (yerleri $x_i$), $K$ çekirdekli (yerleri $R_i$), çekirdek kütleleri $(M_1,...,M_K)$ ve yükleri $(Z_1,...,Z_K)=:\underline{Z}$ olan bir molekülü inceleyelim (ya da $K$'yı içeren terimleri yazmazsak bir atomu):

Çekirdeklerin Hilbert uzayı için $\bigotimes_{k=1}^{K} L^{2}(\mathbb{R}_{R_k}^{3})$ ve  elektronlar için,  spinleri nedeniyle $\bigotimes^{N}\left (L^{2}(R^{3})\right)$ yerine $\bigotimes^{N}L^{2}(R^{3};\mathbb{C}^{2})$ 'yi ve de fermiyon olarak Pauli prensibine tabi oldukları için  yine $L^{2}(R^{3};\mathbb{C}^{2}))$ $L^{2}(R^{3};\mathbb{C}^{2}))$ yerine $N$ kere antisimetrik tensör çarpımı $\bigwedge_{i=1}^{N}L^{2}(\mathbb{R}^{3};\mathbb{C}^{2})$'yi alıyoruz. Sonuç olarak toplam Hilbert uzayı $\mathcal{H}:=\bigotimes_{k=1}^{K}L^{2}(\mathbb{R}^{3}_{R_k})\otimes\bigwedge_{i=1}^{N}L^{2}(\mathbb{R}^{3};\mathbb{C}^{2})$'dır. Hamiltonyen ise şöyle tanımlansın:
$H_{N,\underline{Z}}:C_0^{\infty}({\mathbb{R}^{3K})}\otimes C_0^{\infty}({\mathbb{R}^{3N};\mathbb{C}^{2N}})\rightarrow \mathcal{H}$

$\psi\mapsto H_{N,\underline{Z}}(\psi):=\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{K}T_k+\sum_{i=1}^{N}t_i+V_C\right)\psi$
 
Burada $T_k:=-\frac{\hbar^{2}}{M_k}\triangle_{R_K}$ k. çekirdeğin kinetik enerji işlemcisi,$t_i:=-\frac{\hbar^{2}}{2m_e}\triangle_{x_i}$ i. elektronun kinetik enerji işlemcisi ve
$V_C(\psi(x_1,...,x_N;R_1,...,R_N)):=$

$\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\left(-\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\sum_{i=1}^{N}\frac{Z_k e }{|x_i-R_k|}+\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq N} \frac{e^{2}}{|x_i-x_j|}+\displaystyle\displaystyle\sum_{1\leq k<l\leq K}\frac{Z_k Z_l} {|R_k-R_l|}\right)$ Coulomb potensiyali işlemcisidir ($\hbar$ Planck sabiti, $e$ elektron yükü, $m_e$ elektron kütlesi, $\epsilon_0$ elektriksel alan sabiti). 

Soru 1: Bu Hamiltonyen işlemcisi sınırlı mı sınırsız mı? Bir gözlenebilir (bkz. ilgili yanıt) tanımlar mı ya da nasıl tanımlayabilir? Herhalükârda biz uygun bölgeyi $\mathcal{B}$ olarak adlandıralım:) Hesaplama yapmadan sadece fonksiyonel analiz bilgisi kullanarak sistem hakkında birşey söyleyebilirmiyiz?

Soru 2: $\psi\in \mathcal{B}$ için zamandan bağımsız  Schrödinger denklemini $H_{N,\underline{Z}}\psi =E\psi$ çözün.

Not: Stone'nun tek parametreli üniter gruplar hakkındaki teoremini kullanarak $H_{N,\underline{Z}}$ üzerinden zaman değişkeni $t$ belirlenir.

Soru 3: $\psi\in \mathcal{B}$ için  zamana bağımlı Schrödinger denklemini $i\hbar \partial_t \psi=H\psi$ çözün.

Soru 4: İncelediğimiz Schrödinger teorisi bağlamında çekirdeklerle elektronlar hangi durumda ve neden bir araya gelmekte direnir? 

Not: Soruları bu halleriyle tam çözemezseniz lütfen neden çözemediğinizi belirtin ve(ya) molekülün çekirdeklerini sabit kabul edip ($\mathcal{H}:=\bigwedge_{i=1}^{N}L^{2}(\mathbb{R}^{3};\mathbb{C}^{2})$, $\ H_{N,\underline{Z}}(\psi):=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}t_i+\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\left(-\sum_{k=1}^{K}\sum_{i=1}^{N}\frac{Z_k e }{|x_i-R_k|}+\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq N} \frac{e^{2}}{|x_i-x_j|}\right)$)  bir de öyle deneyin. Yoksa sadece taban enerjisini $E_t^{N,\underline{Z}}:=\text{inf}\sigma_{H_{N,\underline{Z}}}$ (bir $T$ işlemcisinin izgesi genelde $\sigma_T$ olarak gösterilir) bulmaya çalışın. Eğer bu da olmazsa taban enerjisi için bir alt sınır tahmin edin veya daha özel bir durumu inceleyin (örn. hidrojen atomu, helyum atomu).

Comments

aklıma bu filmin ilmi şeyler söylüyor kısmı geldi.

---

Benimde aklıma bu geldi.Topoloji.mp3 (76 kb)

---

@Sercan: Amerikan Matematik Derneği'nin bülteninde (bütün sayıları erişime açık) matematiksel kuatum mekaniği hakkında bir makale var (bazı soruların cevapları da mevcut). İlgini çekebilir diye alıntı yapıyorum: 'No physics background will be assumed of the reader.'