${B(x,y)=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^{2x-1}(\mu)cos^{2y-1}(\mu)d\mu}$ olduğunu kanıtlayınız

Question

${B(x,y)}$ Beta fonksiyonu olmak üzere :

$${\large B(x,y)=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^{2x-1}(\mu)cos^{2y-1}(\mu)d\mu}$$

eşitliğini kanıtlayınız.

Answer 1

Öncelikle şu eşitlikleri yazalım:

$${\large B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}}$$

$${\large\Gamma(x)=\int_0^\infty\tau^{x-1}e^{-\tau}d\tau}$$

Şöyle bir şey yazalım :

$${\large\Gamma(x)\Gamma(y)=\int_0^\infty\mu^{x-1}e^{-\mu}d\mu\int_0^\infty\eta^{y-1}e^{-\eta}d\eta}$$

Şimdi ${\sqrt{\mu}=a}$ , ${\sqrt{\eta}=b}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$${\large\Gamma(x)\Gamma(y)=4\int_0^\infty a^{2x-1}e^{-a^2}da\int_0^\infty b^{2y-1}e^{-b^2}db}$$

(***)Şimdi integralleri ${\Re^+}$ dan ${\Re}$ 'a taşıyalım.${f(k)=k^{2x-1}e^{-k^2}}$ fonksiyonu tek fonksiyon olduğundan integrali ${\Re}$ 'a taşımak için fonksiyonu ${f(k)=|k|^{2x-1}e^{-k^2}}$ olarak yazmamız gerekiyor.Ayrıca integrali ${\Re}$ 'a göre alınca , integral ${\Re^+}$ göre ${2}$ kat artacak.Bunun içinde integrali ${\dfrac{1}{2}}$ ile çarpmamız gerekiyor.(Burada " ${\Re^+}$ üzerinde integral " olarak belirttiğim şey pozitif reel sayılar üzererinde integral demek , yani ${\int_0^\infty}$ , aynı şekilde ${\Re}$ olarak belirttiğim şeyde ${\int_{-\infty}^\infty}$ )

$${\large\Gamma(x)\Gamma(y)=\int_\Re |a|^{2x-1}e^{-a^2}da\int_\Re |b|^{2y-1}e^{-b^2}db}$$

$${\large\Gamma(x)\Gamma(y)=\int_{\Re^2} |a|^{2x-1}|b|^{2y-1}e^{-(a^2+b^2)}dA}$$

İntegrali kutupsal koordinatlara dönüştürelim.${a=r\cos(\omega)}$ ve ${b=r\sin(\omega)}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$${\large\Gamma(x)\Gamma(y)=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}|(r\sin(\omega))^{2x-1}(r\cos(\omega))^{2y-1}|rdrd\omega}$$

İntegralleri 2 ayrı integral halinde yazalım.

$${\large\Gamma(x)\Gamma(y)=\int_0^\infty e^{-r^2}r^{2x+2y-1}dr\int_0^{2\pi}|(\sin(\omega))^{2x-1}(\cos(\omega))^{2y-1}|d\omega}$$

(***)Sol taraftaki integrale ${\sigma=r^2}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.Sağ taraftaki integralide mutlak değerden kurtarmak için sınırları ${\int_0^{\frac{\pi}{2}}}$ olarak değiştirelim.Bu değişim sonunda integral ${4}$ kaç küçülecek , bunun içinde integrali ${4}$ ile çarpalım.

$${\large\Gamma(x)\Gamma(y)=\dfrac{1}{2}\int_0^\infty e^{-\sigma}\sigma^{x+y-1}d\sigma4\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin(\omega))^{2x-1}(\cos(\omega))^{2y-1}d\omega}$$

Sol taraftaki integrali gama fonksiyonu ile yazabiliriz.

$${\large\Gamma(x)\Gamma(y)=\Gamma(x+y)2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin(\omega))^{2x-1}(\cos(\omega))^{2y-1}d\omega}$$

${\Gamma(x+y)}$ ifadesini eşitliğin sol tarafına atarsak :

$${\large B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin(\omega))^{2x-1}(\cos(\omega))^{2y-1}d\omega}$$

olarak buluruz.

Not: (***) olarak belirttiğim yerlerde biraz saçmalamış olabilirim.Yani daha doğrusu demek istediğimi anlatamamış olabilirim.Şimdiden hocalarımdan özür diliyorum :) .

Comments

Kutupsal kordinanta gecerken neden ekstradan $r$ carpani geliyor? Yani geliyor, bu bilinmesi gereken bir sey de, neden? Bu da ispatlanabilir ek olarak. Sadece kutupsal icin degil de, yani sadece $x=r\cos \theta, y=r\sin \theta$ disinda da, degisimler yapilinca ek carpanlar gelebiliyor. Bu ek carpan nasil elde ediliyor?

Answer 2

Beta fonksiyonu $B(m,n)$  $$\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$$ olarak yazalim. $x=\sin^2 \theta$ dersek $$\int_0^{\pi/2} \sin^{2m-1}(\theta) \cos^{2n-1}(\theta)d\theta=\frac12B(n,m)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{2\Gamma(n+m)}$$  olur.