Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
708 kez görüntülendi

$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {\sin x}{x}-\cos 2x}{x^{2}}$ değerini bulmak için

yarım açı formüllerinden ve  $lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$ eşitliğinden yararlanmaya çalıştım.Fakat cevaba ulaşamadım

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (55 puan) tarafından  | 708 kez görüntülendi

l'hopital uygun koşullar sağlanana kadar üst üste uygulanabilir. Örneğin ilk l'hopital uygulandıktan sonra yine $\frac{0}{0}$ belirsizliği  çıkıyor ise çıkan limiti yeni bir belirsizlik  ortaya çıkaran bir limit gibi düşünüp tekrar l'hopital uygularsanız ulaşacağınız sonuç size sorulan limit olur.

$\dfrac {\frac {\sin x}{x}-\cos 2x}{x^{2}}=\dfrac {\sin x-x\cos 2x}{x^{3}}$

den başlayabilirsin.

Hocam ne yaptıysam hep bir belirsizliğe çıktım,l'hopital kuralını da henüz öğrenmedim.

$lim_{x \rightarrow 0}\frac{cos^2(x)}{x^2}$  ifadesine ulaşabildiniz mi ?

$\cos(2x)=1-2\sin^2x$ olduğunu kullanarak:

$\dfrac {\frac {\sin x}{x}-\cos 2x}{x^{2}}=\dfrac {\frac {\sin x}{x}-1}{x^{2}}+2\dfrac{\sin^2x}{x^2}$

olduğu için,  daha basit görünen $\dfrac {\frac {\sin x}{x}-1}{x^{2}}=\dfrac{\sin x-x}{x^3}$ ün 0 daki limitini bulmak yeterli olacaktır.

Son ifadenin 0 daki limitini hangi yöntemle buldunuz hocam?

$\dfrac {\frac {\sin x}{x}-1}{x^{2}}=\dfrac{\sin x-x}{x^3}$ in 0 daki limitini L'Hospital in (aslında Joh(a)n(n) Bernoulli nin ) kuralını kullanmadan bulmak için $\sin x$ için 0 yakınında yaklaşık hesaplayan bir polinoma (veya cebirsel fonksiyona) gerek var.

(Sadece $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ olması yetmez.)

(Türev kullanarak) Taylor polinomu veya Taylor serisi ile böyle yaklaşık hesaplayan fonksiyonlar bulunabilir.

Hiç türev kullanmadan, bana, bayağı zor olur gibi geliyor.

20,200 soru
21,726 cevap
73,275 yorum
1,887,832 kullanıcı