$x^2 + ny^2$ tipindeki asallar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
111 kez görüntülendi

$n$ pozitif tamsayı

$x,y$ tamsayı

$p$ asal sayı

$i=1,2,3,...$ olmak üzere , $q_{i}$, $n$ nin tek böleni ve $q^*=(-1)^{\frac {q-1} {2} }$

olmak üzere aşağıdaki önermeyi kanıtlayalım. ($(\dfrac {a} {p})$ legendre sembolü)

$p=x^2+ny^2 \Leftrightarrow  (\dfrac {-n} {p}) = 1 \wedge (\dfrac {q_{1}^*} {p})=(\dfrac {q_{2}^*} {p})=...=1$

Örneğin $n=1$ için $(\dfrac {-1} {p}) = 1$ olması için $p=4k+1$ formunda olması gerekir. Gerçekten de tüm $4k+1$ tipindeki asal sayılar $x^2+y^2$ formundadır.

Önermenin soldan sağa kanıtı çok kolay. $x^2+ny^2 \equiv 0 (p)$ ise sağdakilerin sağlanacağı gayet bariz. Zor olan sağdan sola.

26, Mayıs, 26 Akademik Matematik kategorisinde Dogukan633 (838 puan) tarafından  soruldu
29, Mayıs, 29 Dogukan633 tarafından düzenlendi

Teoremin doğru olup olmadığından da emin değilim.

...