a,b,c elemanıdır Z , a>0 olmak üzere ax^2+bx+c=0 denkleminin gerçek kökleri x1 ve x2'dir. 0<x1<x2<1 olması için a tam sayısının en küçük değeri kaçtır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
105 kez görüntülendi

ben şu şekilde bir yol izledim. x1+x2>0 ve x1.x2>0 olur. sonra kökler topalmı formülünden -b/a>0 ve -b/a<0 ve c/a>0 geldi. bu durumda şöyle bir sonuç elde ettim b<0, a>0, c<0 . sonra diskriminantı bulup kök bulma formülünden kökleri yazdım ancak burdan öteye gidemedim. lütfen yardımcı olun proje ödevim yapamıyorum. şimdiden teşekkürler...

2, Mayıs, 2018 Orta Öğretim Matematik kategorisinde beyzabjk1718 (13 puan) tarafından  soruldu
2, Mayıs, 2018 alpercay tarafından yeniden kategorilendirildi

ilk dediklerin tum $x_1,x_2>0$  icin saglanir, degil mi? Ustten $1$ sinirini kullanmamissin hic.

Soyle bir polinom ornegi vereyim: $5\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14$.

Tabi bu ornek istenenin 1,2,3,4,5'ten biri olabilecegini soyler.

Kökleri $(0,1)$ aralığında olan sayısız parabol(polinom) var. Bu yazdığınızı nasıl buldunuz?

Kokleri 1/2'den 1/2 uzaklasmayan ikinci dereceden bir polinom yazmaya calistim. Bu da onlardan biri... Amaca uygun olmasi icin $5x^2-5x+1$ yerine kapali halini yazdim. 

Tabii dedigim gibi bu daha kucuk yazilamayacagi anlamina gelmez. Fakat istenen degerin $1,2,3,4,5$ degerlerinden biri olacagini garantiler.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$0<x_1<x_2<1$      eşitliğinden     $x_1-1<0,x_2-1<0$ eşitsizlikleri yazılabilir. Buradan;$$(x_1-1).(x_2-1)>0$$

$$x_1x_2-(x_1+x_2)+1>0$$

$$\frac ca+\frac ba+1>0\Rightarrow \frac{a+b+c}{a}>0$$ olur. $a>0$ olduğundan $a+b+c>0\Rightarrow a>-b-c$ elde edilir. 

Burada $a,b,c\in Z$ ve $a>0,b<0,c>0$  oldukları kullanılarak en küçük $a$ bulunabilir.

3, Mayıs, 2018 Mehmet Toktaş (18,763 puan) tarafından  cevaplandı
3, Mayıs, 2018 Mehmet Toktaş tarafından düzenlendi

$(x_1−1).(x_2−1)>0$.

Burada ek olarak  $x_1,x_2>1$ durumlarini da saymis oluyorsunuz.

Hocam ben bu soruda a>0 b<0 c>0 olmak üzere a'nın $-\left( b+c\right) <a <\dfrac {b^{2}}{4c}$ aralığında olduğunu buluyorum. a bir tam sayı olduğundan  c=1 alındığında b=-5 için verilen aralıktan a tam sayısı minimum 5 geliyor.Daha küçük b değerleri için bulduğumuz eşitsizlikten tam sayı gelmiyor.Ancak daha büyük c değerleri için 5 ten küçük bir a değerine ulaşılabilir mi?Ulaşılamazsa bu durum nasıl kanıtlanır ?Sizin fikrinizi almak isterim.Bu arada $\dfrac {-b+\sqrt {\Delta }}{2a} <1$ eşitsizliğinden de a+b+c>0 geliyor.Tabi burada $a >\dfrac {-b}{2}$ eşitsizliğini kabul etmemiz lazım.

...